Matematyka

1. Wektory a i b są prostopadle oraz | a | = 2 i |b | = 3. Obliczyć długość wektora a –b .
2. Dany jest wektor a = [1;2].Znaleźć współrzędne wektora b prostopadłego do wektora
a , jeŜeli │b │=3 5 .
3. Dane są wektory w= [3; 7], u = [2; 3] i v = [−1; 1]. Wyznaczyć liczby a i b tak, by
wektor w+ au + b v był wektorem zerowym.
4. Obliczyć długość wektora 2 AC − 3 BC , jeŜeli A(2; 1), B(0; 2) i C(−1; 4).
5. Dane są punkty A(1; 2) i B(2; 4). Znaleźć punkt C spełniający warunek AC = 2 AB .
6. Niech P będzie środkiem cięŜkości trójkąta równobocznego ABC. Wyznaczyć wektory
AP i BP w zaleŜności od wektorów AB i AC .
7. Obliczyć miarę kąta między wektorami a i b , jeŜeli wiadomo, ze wektory
u = − a + 4 b i v =3 a + 2b są prostopadłe oraz │ a │= │b │= 1.
8. Dla jakich wartości wektory a = [1; 0] i b = [1; x] tworzą kąt 60°.
9. Obliczyć długości przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b ,
jeŜeli a = 2 m − n , b = 3m − n , m ^n , │m │= │ n │=1.
10. Obliczyć miarę kąta między wektorami a = [√3; 1] i b = [−√3; 1], a następnie długości
przekątnych równoległoboku wyznaczonych przez ten kąt.
11. Znaleźć współrzędne wektora x równoległego do wektora u =[2; 3], jeŜeli iloczyn
skalarny wektorów x i v = [−1; 1] jest równy 5.
12. Obliczyć │ a − b │, jeŜeli │ a + b │=5 i │a │=3 i │b │=2√2.
13. Dany jest romb ABCD o bokach długości 1 i kącie 60° przy wierzchołku A. Obliczyć
iloczyn skalarny wektorów AM i AN , jeŜeli M i N są odpowiednio środkami boków
BC i CD.
14. Wyznaczyć wartości x є (0; π) dla których wektory a = [√3; −1] i b = [−2sinx; 1] są
równolegle.
15. Wektory a i b tworzą ze sobą kąt α = 3
p , przy czym │a │=3 i │b │=5. Obliczyć
│a + b │ oraz │ a − b │.
16. Znaleźć długość rzutu dwusiecznej kata a trójkąta o wierzchołkach A(2; 0), B( 6; 6),
C(1; −4) na bok AB.
17. Dane są wektory a = [1;3] i b = [−2; 1]. Znaleźć wektor x prostopadły do wektora a
i atki, eŜ b ◦ x = 7.
18. Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku napiętego na wektorach a = 2i + j ,
b = i −2 j , gdzie i , j są wersorami osi układu XOY.
19. Dane są wierzchołki A( 6; −1), B(5; 1), C(1; 2), D(2; −4) czworokąta. Wykazać, Ŝe AC
i BD są prostopadle.
20. Wykazać, Ŝe trójkąt o wierzchołkach A(1; 0), B(1; 30, C(4; 3) jest równoramiennym
trójkątem prostokątnym.
21. Dane są trzy wierzchołki A(4; 2), B(3; 6), C(−1; 4) równoległoboku ABCD. Obliczyć
kąt między wektorami AK i AL. AL , gdzie K i L są środkami odcinków BC i CD.

Matematyka

1. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe przy sześciokrotnym rzucie moneta co
najmniej jeden raz wypadnie orzeł?
2. W urnie znajduje się pięć kul białych i sześć kul czarnych. Z urny tej losujemy jedną
kulę, a następnie z pozostałych losujemy drugą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo
wylosowania kuli czarnej za drugim razem?
3. Oblicz liczbę tych permutacji zbioru siedmioelementowego, w którym dwa
wyróŜnione elementy nie występują obok siebie.
4. Obliczyć, na ile sposobów moŜna podzielić zbiór pięcioelementowy na dwa niepuste
zbiory rozłączne.
5. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką sześcienną do gier .
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe za drugim razem wypadnie „szóstka” pod
warunkiem, Ŝe suma oczek będzie równa 9.
6. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe suma oczek z trzech rzutów kostką do gry wynosi
12, jeŜeli w drugim rzucie wypadły trzy oczka ?
7. Rzucamy trzy razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe w drugim rzucie
wypadła nieparzysta liczba oczek, jeŜeli iloczyn liczby oczek w trzech rzutach równy
jest 40?
8. W kaŜdej z trzech urn znajdują się 2 białe, 3 czarne i 4 niebieskie kule. Z kaŜdej urny
wylosowano po jednej kuli. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wśród wylosowanych
kul znajdują się 2 kule tego samego koloru?
9. JeŜeli w dwukrotnym rzucie monetą wypadną dwie reszki, to losowane są trzy kule
z urny zawierającej dwie białe i trzy czarne kule. W przeciwnym wypadku losowane
są dwie kule z urny zawierającej dwie białe i dwie czarne kule. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, Ŝe wśród wylosowanych kul będą dwie kule białe?
10. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe w pięciokrotnym rzucie monetą wypadnie
a)parzysta liczba reszek ; b)nieparzysta liczba reszek?
11. Z talii 52 kart wybrano losowo trzy karty. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia,
Ŝe wśród wybranych kart jest kier lub figura.
12. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej raz reszki w siedmiu rzutach
monetą?
13. Na loterię przygotowano trzydzieści losów, z których dziesięć wygrywa. Obliczyć
prawdopodobieństwo, Ŝe wśród kupionych dwóch losów jest jeden wygrywający.
14. Zdarzenia A i B są niezaleŜne oraz P(A) = p, P(B) = q. Obliczyć P(AÈB) i P(A\B).
15. Dziesięć osób posadzono w sposób losowy przy okrągłym stole. Obliczyć
prawdopodobieństwo, Ŝe dwie ustalone osoby X i Y nie siedzą obok siebie.
16. Ile róŜnych liczb czterocyfrowych moŜna zapisać za pomocą cyfr:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? Ile
wśród tych liczb jest liczb parzystych?
17. Dziesięć osób posadzono w sposób losowy na ławce. Obliczyć prawdopodobieństwo,
Ŝe dwie ustalone osoby X i Y siedzą obok siebie.
18. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe przy dwukrotnym rzucie kostką liczba
oczek w drugim rzucie jest większa niŜ w pierwszym rzucie.
19. W urnie znajduje się 7 kul białych i 9 kul czarnych. Losujemy jedną kulę, a następnie
z pozostałych losujemy drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe za drugim
razem wylosowano kulę czarną?
20. Z cyfr {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9} wybieramy kolejno bez zwracania trzy cyfry i układamy
z nich liczbę, rozpoczynając od cyfry setek. Oblicz prawdopodobieństwo ułoŜenia
liczby podzielnej przez 9.
21. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia wśród tegorocznych maturzystów dwu
osób urodzonych tego samego dnia tygodnia?

Matematyka

1. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} losujemy dwukrotnie po jednej liczbie bez
zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe druga z losowanych liczb jest większa
od pierwszej ?
2. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia B\A, jeŜeli P(AÈB) =0,9; P(A)= 0,4 oraz
P(B) = 0,7.
3. Zbiór {1,2,3,4,5,6,7,8} uporządkowano w sposób losowy. Obliczyć
prawdopodobieństwo wystąpienia w tym uporządkowaniu:
a) jedynki bezpośrednio przed trójką , b) jedynki przed trójką.
4. Czy wolałbyś (wolałabyś) kupić dwa losy w loterii zawierającej pięć losów, z których
dwa są wygrane, czy kupić dwa losy w loterii zawierającej dziesięć losów, z których
cztery są wygrane ? Odpowiedź uzasadnić.
5. Rzucono trzema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe na Ŝadnej kostce
nie wypadły cztery oczka lub na wszystkich kostkach wypadła taka sama liczba
oczek?
6. Rzucamy siedem razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństw, Ŝe orzeł wypadnie co
najwyŜej pięć razy?
7. Rzucamy trzy razy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo ,Ŝe co najmniej
raz suma oczek będzie większa od 9?
24. Ile moŜe być róŜnych numerów telefonicznych w czterocyfrowej centrali telefonicznej
jeŜeli:
a) wszystkie numery są moŜliwe,
b) pierwszą cyfrą numeru nie moŜe być 0?
8. W urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne. Losujemy dwie kule bez zwracania.
Oblicz dwiema metodami prawdopodobieństwa, Ŝe obie kule będą białe.
9. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, Ŝe:
a) wyrzucimy trzy razy reszkę,
b) wyrzucimy co najmniej raz reszkę.
10. Ile pięciocyfrowych ilczb neiparzystych moŜna uwt orzyć z cyfr: 4, 5, 8?
11. Ile parzystych ilczb czterocyfrowych moŜna uwt orzyć z cyfr: 1, 2, 3?
12. Obliczyć P(B), jeŜeli P(A) =3
1 , P(A\B ) = 6
1 , P(B\A) = 4
1 .
13. Rzucamy siedem razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe „orzeł” wypadnie
dokładnie pięć razy?
14. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia B, wiedząc, Ŝe P(A)=0,4 oraz P(A\B)=0,1
i P(B|A)=0,2.
15. Z talii liczącej 52 karty wyciągnięto jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe
jest to figura (as, król, dama, walet) lub karta czerwona?
16. Jaką minimalną ilość razy naleŜy rzucić kostką do gry, aby prawdopodobieństwo
wyrzucenia ci najmniej raz 5 lub 6 oczek było większe od 9
4 ?
17. W urnie znajduje się kula biała albo kula czarna (kaŜda z prawdopodobieństwem 2
1 ).
Do urny dokładamy kulę biała i dokonujemy losowania jednej kuli. Jakie jest
prawdopodobieństwo, Ŝe wyciągniemy kulę białą?
18. Odliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej trzy razy orła w czterech
rzutach symetryczna monetą.
19. W urnie A znajduje się sześć białych i cztery czarne kule, w urnie B zaś trzy białe
i trzy czarne kule. Przekładamy dwie kule z urny A do urny B , a następnie z urny B
wyciągamy losowo jedną kule. Jakie jest prawdopodobieństwo Ŝe wyciągnięta kula
jest biała?
20. Na lie sposobów moŜna wybrać rtzy osobowa delegację z grupy 20 oósb?

Matematyka

1. Ile róŜnych liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5 moŜna zapisać za pomocą cyfr :
1,2,3,4,5?
2. Na ile sposobów moŜna ustawić na półce sześć ksiąŜek tak , aby dwie wybrane ksiąŜki
stały obok siebie ?
3. Do pudełka z dziesięcioma nowymi długopisami wrzucono cztery długopisy zuŜyte.
Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wśród trzech losowo wybranych długopisów będą
przynajmniej dwa nowe?
4. Ile róŜnych liczb trzycyfrowych moŜna utworzyć z cyfr 0, 1, 3, 4, i 5 jeŜeli załoŜymy
Ŝe cyfry w liczbie nie mogą się powtarzać?
5. W urnie jest 20 jednakowych kul ponumerowanych od 1 do 20 . Jakie jest
prawdopodobieństwo wylosowania kuli, której numer jest kwadratem liczby
naturalnej?
6. Pewna gra polega na rzucie kostką i monetą. Wygrana następuje przy jednoczesnym
otrzymaniu czterech oczek i orła. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, Ŝe w trzech
grach wygrana nastąpi dokładnie dwa razy?
7. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe na siedem rzutów kostką co najwyŜej dwa razy
wypadnie liczba oczek większa od 4.
8. Urna U1 zawiera sześć kul czarnych i dziewięć białych, natomiast urna U2 zawiera
pięć kul czarnych i piętnaście białych . Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo
tego, Ŝe losujemy kulę z urny U1 jest równe 3
2 , prawdopodobieństwo tego, Ŝe
losujemy kulę z U2 jest równe 3
1 . Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli
białej.
9. Rzucamy cztery razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe co najmniej
dwa razy wypadnie liczba oczek większa od czterech?
10. W pewnym sklepie 45% sprzedawanych Ŝarówek pochodzi z zakładu Z1, a 55%
z zakładu Z2. Braki w produkcji Ŝarówek zakładów Z1 i Z2 stanowią odpowiednią
0,8% oraz 1,2% ich produkcji . Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe klient kupujący
jedną Ŝarówkę, kupi złą ?
11. W grupie studenckiej liczącej 6 chłopców i 4 dziewczęta rozlosowano 5 biletów do
teatru. Obliczyć prawdopodobieństwo, Ŝe co najmniej 2 bilety wylosowały
dziewczęta.
12. Ze zbioru {1,2,3,...,20} losujemy jedną liczbę. Czy zdarzenia :A – wylosujemy liczbę
podzielną przez 4 oraz B – wylosujemy liczbą podzielna przez 6, są niezaleŜne ?
13. Dwukrotnie rzucono kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo tego , Ŝe za
drugim razem wyrzucono szóstkę, jeśli wiadomo, Ŝe suma ilości wyrzuconych oczek
była równa 10.
14. Ile parzystych liczb pięciocyfrowych moŜna zapisać uŜywając wyłącznie cyfr
1, 2, i 8?
15. Na egzaminie, w sposób losowy posadzono w jednym rzędzie dziesięciu zdających,
w tym dwóch z jednej szkoły. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe nie siedzą oni obok
siebie?
16. Rzucamy dwiema kostkami. Co jest bardziej prawdopodobne : wyrzucenie parzystej
liczby oczek na kaŜdej z kostek czy wyrzucenie co najmniej jednej szóstki ?

Geografia

1. Która godzina czasu lokalnego jest na 870 E wtedy, gdy w strefie czasu
środkowoeuropejskiego , według czasu strefowego jest godzina 1500
2. Oblicz godzinę czasu miejscowego na 250 W, jeśli na 150 E jest południe słoneczne.
3. Oblicz która godzina czasu miejscowego będzie we Wrocławiu (170 E ; 510 N) jeśli w Londynie w
tym samym czasie będzie 10 00
4. Oblicz róŜnice czasu pomiędzy dwoma południkami, jeśli róŜnica długości geograficznej miedzy nimi
wynosi 60 0
5. Ustal, która godzina czasu miejscowego będzie w miejscowościach leŜących na 21 0 E, jeśli w
miejscowości X o współrzędnych 30 0 E ; 52 0 N jest 15 00.

Geografia

1. Odległość z Kołobrzegu do wyspy Bornholm wynosi 1,2 cm na mapie
w skali 1: 8 000 000. Oblicz, w jakim czasie dotrą fale dźwiękowe
pod wodą z Bornholmu do Kołobrzegu? (prędkość rozchodzenia się fal
dźwiękowych w wodzie morskiej wynosi 1450 m/s).

2. Jezioro Bajkał znajduje się w rowie tektonicznym na wysokości 456 m
n.p.m. Jego średnia głębokość wynosi 730 m a maksymalna 1620 m. Ile
metrów wynosi kryptodepresja Bajkału? (Kryptodepresja to obszar
lądowy połoŜony poniŜej poziomu morza wypełniony wodą)

3. Wrzucona do morza butelka dryfuje wraz z przemieszczającymi się
wodami Golfsztromu z szybkością 100cm/sek. Jaką trasę przebędzie
butelka w ciągu 1 doby? (Odpowiedź podaj w km)

Geografia

Zadanie 1

Przy określeniach następstw ruchu obiegowego Ziemi wpisz literę P (prawda), jeśli uważasz je za prawdziwe, lub F (fałsz), jeśli uważasz, że są błędne.
a) zmiana wysokości Słońca nad horyzontem w ciągu roku – .......

b) następowanie po sobie dnia i nocy – .......

c) zmiana długości dnia i nocy – .......

d) spłaszczenie Ziemi na biegunach – .......

e) astronomiczne pory roku – .......

f) zmiana miejsca wschodu i zachodu Słońca – .......

Zadanie 2
Oblicz wysokość Słońca podczas górowania w Krakowie ( 50N, 20E) w dniu przesilenia letniego i zimowego.
Zadanie 3
Podaj nazwę zjawiska astronomicznego występującego na obszarach wokół bieguna północnego
22 grudnia.
Zadanie 4
Na poniższej mapie poziomicowej zaznacz przerywaną linią dolinę, którą spływają wody deszczowe z wierzchołka wzgórza.

Zadanie 5

Podaj wysokość względną i bezwzględną szczytu A na powyższej mapie poziomicowej.

a) wysokość bezwzględna – .......................... b) wysokość względna – ..........................
Zadanie 6
Oblicz wysokość Słońca nad horyzontem w południe 21marca na: równiku, Zwrotniku Raka
i na kole podbiegunowym północnym.

Geografia

1.Skala mapy

2.Odległość na mapie

3.Odległość w terenie

Zadanie 1
Zamień następujące skale liczbowe na skale mianowane:

1: 2 000
1 : 20 000
1 : 200 000
1 : 2 000 000
1 : 20 000 000
1 : 200 000 000
Zadanie 2
W której z podanych skal, jednemu milimetrowi na mapie odpowiada w terenie odległość pozioma 300 m ?

1 : 3 000
1 : 30 000
1 : 300 000
1 : 3 000 000
1 : 30 000 000
Zadanie 3
Oblicz skalę mapy wiedząc, że odległości 156 km na powierzchni Ziemi odpowiada na mapie odcinek długości 26 mm.

Zadanie 4
Oblicz odległość między dwoma jednostkami osadniczymi na mapie

w skali 1 : 90 000, jeśli w terenie odległość ta równa się 4,5 km.

Zadanie 5
Oblicz, ile kilometrów wynosi odległość w terenie między dwoma miastami, jeśli na mapie w skali 1 : 400 000 odległość ta wynosi 53 mm.

II Z zakresu astronomicznych podstaw geografii
1.Rachuba czasu

2.Współrzędne geograficzne

3.Rozciagłość południkowa

4.Rozciąglość równoleżnikowa

5.Wysokość astronomiczna Słońca

Zadanie 1
Oblicz różnicę czasu miejscowego między południkiem 15° E i najdalej na wschód wysuniętym krańcem terytorium Polski ( dług. Geogr. 24°08´ E ).

Zadanie 2
Którą godzinę wskazują zegary w Tarnowie ( dług. Geogr. 21°00´ E ) gdy

w Manaus ( dług. Geogr. 60°00´ W ) jest 20 h 00 m dnia 31 grudnia ?

Podaj datę obowiązującą w tym momencie w Tarnowie.

Zadanie 3
Na południku 30° W jest 14 h 00 m czasu miejscowego. Która godzina czasu miejscowego jest w tym momencie na południku:

a) 165° W b) 0° c) 75° E d) 150° E

Zadanie 4
Samolot wyleciał z Kamczatki, gdzie obowiązuje czas strefy 180° E

dnia 27.VI o godz. 8.00. Po 5 godzinach lotu wylądował na Alasce, gdzie obowiązuje czas strefy 15° W.

Zadanie 5
Uczniowie w Pułtusku zmierzyli wysokość astronomiczną Słońca w momencie górowania dnia 23 września. Otrzymali wynik Hg = 37° 18´ po stronie południowej sklepienia niebieskiego.

Oblicz szerokość geograficzną miejsca obserwacji.

Geografia

1.Za pomoca schematycznego rysunku przedstaw powstawanie monsunu letniego .
2. Za pomoca schematycznego rysunku przedstaw powstawanie monsunu zimowego .
3. Za pomoca schematycznego rysunku przedstaw powstawanie przypływów syzygijnych. Podpisz fazy
Ksie&yca.
4. Za pomoca schematycznego rysunku przedstaw powstawanie przypływów kadrowych. Podpisz fazy
Ksie&yca.
5.Okresl typ genetyczny nastepujacych jezior : a) Bajkał , b) Sniardwy , c) Albano .
6. Okresl typ genetyczny nastepujacych jezior : a) Wielki Staw , b) Tanganika , c) Łebsko .
7. Podane morza zaklasyfikuj do odpowiednich typów :a) Bałtyckie , b) Czarne , c) Celebes .
8. Podane morza zaklasyfikuj do odpowiednich typów : a) Arabskie , b) Północne , c) Karaibskie .
9. Podaj przyczyny bardzo małego zasolenia Morza Bałtyckiego.
10. Podaj przyczyny bardzo du&ego zasolenia Morza Czerwonego .

Geografia

1.Odległosc w linii prostej miedzy Krakowem i Kielcami zmierzona na mapie w skali 1: 500 000 wynosi
20 cm . Oblicz odległosc rzeczywista miedzy tymi miejscowosciami .
2. Odległosc rzeczywista w linii prostej miedzy Hajnówka i Białowie&a wynosi 18 km . Jaka jest ta
odległosc na mapie w skali 1: 75 000 ?
3.Wyobraz sobie , &e wznosisz sie wysoko ponad powierzchnie Ziemi . Po czym poznasz , &e osiagnałes :
a) stratosfere , b) mezosfere , c) termosfere , d) egzosfere ?
4.W Karpaczu na wysokosci 600 m n.p.m. zanotowano temperature powietrza +4 C . Jakiej temperatury
powietrza nale&y spodziewac sie na pobliskiej Snie&ce , na wysokosci 1 600 m n.p.m. ?
5.W zlewisku jakiego morza poło&one sa nastepujace miasta : a) Cieszyn (Polska) , b) Poprad ( Słowacja) ,
c) Opava ( Czechy) .
6. W zlewisku jakiego morza poło&one sa nastepujace miasta : a) Koszyce (Słowacja) , b) Sambor
(Ukraina) , c) Ołomuniec (Czechy) ?
7.W zlewisku jakiego oceanu poło&one sa miejscowosci : a) Cuzco ( Peru ) , b) Lhasa (Chiny) ? .
8. W zlewisku jakiego oceanu poło&one sa miejscowosci : a) Czita (Rosja) , b) Edmonton (Kanada) ?
9.Które z wymienionych miast le&a na obszarze bezodpływowym : a) Kaszgar ( Chiny) , b) Kijów
(Ukraina) , c) Nd&amena (Czad) ?.
10. Które z wymienionych miast le&a na obszarze bezodpływowym : a) Taszkent ( Uzbekistan ) , b)
Moskwa (Rosja) , Niamey (Niger) ?
11.Okresl pore roku i przyczyny wystepowania wysokich stanów wód rzek : a) Kongo , b) Wisła .
12. Okresl pore roku i przyczyny wystepowania wysokich stanów wód rzek : a) Ganges , b) Lena .
13. Oblicz spadek Wisły od jej zródła do Sandomierza .
14. Oblicz spadek Odry od jej zródła do Głogowa .
15. Jakie czynniki i procesy powoduja powstawanie nastepujacych form rzezby terenu : a) moreny ,
b) klifu ?
16. Jakie czynniki i procesy powoduja powstawanie nastepujacych form rzezby terenu : a) meandru , b)
wydmy ?
17. Jakie czynniki i procesy powoduja powstawanie nastepujacych form rzezby terenu : a) doliny V kształtnej
, b) grzyba skalnego ?

Matematyka

CIĄGI LICZBOWE
1. Znaleźć icąg raytmetyczny, kótrego usma n pierwszych wyrazów jest równa 3n2+n
2. Zbadać monotoniczność ciągu an=
3 1
2 1
+
+
n
n
3. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 10, piąty wyraz 28. Wyznaczyć a1 i r.
Podać wzór ogólny ciągu
4. Podać dfeinicję icągu egometrycznego. Zamienić uałmek 1,11(2) n a uałmek wz ykły
5. Obliczyć 2+4+8+…+1024
6. Rozwiązać órwnanie
x
x x 3
...
2 4
1
2
- + + =
7. Dane są trzy pierwsze wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego
3 1
3 1
-
+ ;
6
1
;
3 3
1
-
-
. Podać dwa następne wyrazy i obliczyć sumę tego ciągu.
8. Stosując zasadę indukcji matematycznej wykazać, Ŝe dla kaŜdego nÎ N \ {0;1}
(n )n n
1
1
1
1
2 3
1
1 2
1 = -
-
+ +
×
+
×
L
9. Podać definicję ciągu arytmetycznego. Obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych,
dwucyfrowych podzielnych przez 5.
10. Udowodnić, Ŝe dla kaŜdej liczby naturalnej n liczba 7n -1 jest podzielna przez 6
11. Wyprowadzić wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego ( ) n a
znając wyraz pierwszy 1 a oraz iloraz q tego ciągu
12. RozwiąŜ równanie
5
1 1 1 8
2 5 - + - +L=
x x x
x
13. Wykazać, Ŝe ciąg a n n
n = 2 - jest rosnący
14. Na paraboli y = 48 - x2 znaleźć punkty (x; y)takie, Ŝe 3, x, y tworzą ciąg
geometryczny
15. Dla ciągu { } n a gdzie an=cos
2
np
wyznaczyć a3, a6, a9 i a12
16. Oblicz sumę kolejnych liczb parzystych od 8 do 2004
17. Liczby 2, 2x i 2x+3 tworzą ciąg arytmetyczny. Obliczyć x
18. Udowodnić, Ŝe dla kaŜdego nÎ N liczba postaci 4n+5 jest podzielna przez 3
19. Sprawdź czy ciąg o wyrazie ogólnym
4
3
+
= +
n
n
an jest rosnący
20. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (r ¹ 0)jest równa połowie
sumy następnych n wyrazów. Znaleźć
n
n
s
s3
21. Wyznaczyć wartość parametru b, dla której ( ) 2
4
lim
2
=
+ + ®¥ b n b
b n
n
22. Liczby a,b,c,d są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Suma dwóch liczb
środkowych jest równa 24, a suma dwóch liczb skrajnych jest równa 36. Znaleźć te
liczby

Matematyka

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
1. RozwiąŜ nierówność
11 2-ñx x
.
2. Dla jakiej wartości parametru aÎR wielomian W(x) = x13+3x+ a dzieli się bez reszty przez
x+1?
3. Rozwiązać nierówność:
a)
x
x
1 á b) 2
1
2 5 ñ
+
-
x
x
4. Wyznaczyć wartości parametru m tak, aby liczba 2 była pierwiastkiem wielomianu
W(x) = x3-4x2+mx-1.
5.Sprowadzić wielomian W(x) = x3-2x2-5x+6 do postaci iloczynowej.
6. Dana jest funkcja f(x)=
x
1
. Rozwiązać nierówność f(x)-f(
x
1 )< f(x3)-f( 31x).
7. Rozwiązać układ nierówności -4<1
3x2 -< 1.
8. Dana jest funkcja f(x)=x1
+1. Rozwiązać nierówność f(x) > f(2- x).
9. Wykazać, Ŝe wielomian W(x)=x6-x4+3x2-3 ma dokładnie dwa miejsca zerowe.
10. Dla jakich wartości parametrów a i b równanie x³-2x²+ax+ b = 0 ma pierwiastek
podwójny x = 1?
11. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x) = 125 -x +.
12. Dla jakich wartości parametru mÎR wielomian W(x) = m2x5+4x2-5m jest podzielny przez
dwumian (x-1)?
13. Rozwiązać nierówność f(-x)< 2f(x), jeŜeli f(x) =
1
2
x +
x .
14. Rozwiązać nierówność x2-4x+9 £
2
18
x +
15. Dla jakich wartości a i b wielomian W(x)= 12x4-17x2+ax+ b jest podzielny bez reszty
przez 2x2+x-1?
16. Ile pierwiastków ma równanie (x+3)2(x+8)3= 108
17. Dla jakich wartości m równanie x +
x
1
= m nie ma rozwiązań rzeczywistych?
18. Wiedząc, Ŝe wielomian W(x)=x3-3x + a dzieli się bez reszty przez (x+1). RozłoŜyć ten
wielomian na czynniki. Jaki jest wtedy parametr a?
19. Sprawdzić, czy wielomian (x-2)102 +(x-1)101 -1 jest podzielny przez wielomian x2-3x+2.
20. Dla jakich wartości parametru a, oraz b resztą z dzielenia wielomianu W(x) = x4+ax+b
przez x2-1 jest wielomian R(x) = 2x-3?
21. RozłoŜyć na czynniki wielomian W(x) = x4+x2+1.
22. Dla jakich wartości parametrów a i b liczba –1 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu
W(x) = x3+ax2+bx-3?
23. Zakładając, Ŝe wielomian P(x)=x2-2x-3 jest podzielnikiem wielomianu W(x) = x3+ax2+ bx+1. Wyznaczyć wartości parametrów a i b. Dla wyznaczonych a i b obliczyć W(-1).

Matematyka

Funkcje kwadratowe zadania:

1. Wyznaczyć najmniejszą wartość trojmianu y = x2 + 4x +1 i podać zbior wartości tej
funkcji.
2. W którym punkcie styczna do paraboli y = 2x2 + 3x +5 jest rownoległa do prostej
x + y + 5 = 0?
3. Dla jakich wartości mÎR równanie mx2-x-3=0 ma dwa pierwiastki spełniające
warunek 2 7
2
2
1 x + x = ?
4. Wykazać, eŜ ufnkcja =y2x2 jest malejąca w przedziale (-∞;0).
5. Wyznaczyć dizedzinę i bzior wartości ufnkcji =y x - x2 .
6. Wykazać, Ŝe dla kaŜdej wartości parametru m parabola y=x2-(m-2)x-1 ma dwa punkty
wspolne z osią OX.
7. Rozwiązać neirowność x2-1>1-x.
8. Na płaszczyźnie OXY naszkicować zbiory A,B,AÈB jeŜeli:
A={(x,y): y≤x+3} B={(x;y): y-x2-1≥0}
9. Wyznaczyć wartości parametru a, dla ktorych układ rownań:
î í ì
- =
+ =
3
9
2
2 2
ay x
x y
ma addnoiek jłedno ozwiąrzanie.
10. Dla jakich wartości c prosta y=2x+c jest styczna do hiperboli x2 - y2 =1 ?
11. Dla jakich wartości parametru mÎR równanie x2-2mx+4m-3=0 ma dwa pierwiastki
roŜnych znakow?
12. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x)=
2 2
1
x2 - x +
w przedziale <-2;2>
13. Dla jakich wartości parametru mÎR parabola y=mx2+2x+m zawarta jest
w połpłaszczyźnie y≥0?
14. Parabolę y=x2 przesunięto o wektor [-2;3]. Naszkicować otrzymaną figurę i podać jej
równanie.
15. Rozwiązać rownanie f(x-1)=4 jeŜeli f(x)=x2+x-2 dla xÎR.
16. Rozwiązać algebraicznie i graficznie rownanie x2-5x+4=0.
17. Napisać rownanie stycznej do paraboli y= 4
1 x2 tworzącej z osią OX kąt 45º.
18. Dla jakiej wartości parametru a rownanie x2+ax+a-1=0 ma co najmniej jeden
pierwiastek rzeczywisty?
19. Niech f(m) oznacza liczbę pierwiastkow rownania 4x2-4x-1=m. Narysować wykres
funkcji y=f(m)
20. Naszkicować wykres funkcji: a) f(x)= x4 - 2x3 + x2 b) f(x)= x4 - 2x2 + 1 .
21. Dla jakich wartości parametru p suma pierwiastkow rownania x2+4px+3p+1=0 jest
najmniejsza?
22. Dla jakich wartości parametru p suma kwadratow pierwiastkow rownania
x2+(k-3)x+k=0 jest najmniejsza?

matematyka

Funkcje liniowe
zadania:


1. Napisz rownanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej
3x-2y+1=0.
2. Oblicz pole rtojkąta organiczonego oisami ukałdy iprostą x+2y-6=0.
3. Odcinek o końcach A(3;-2) i B(6;4> został przedzielony na trzy rowne części. Znajdź
wspołrzędne punktow podziału.
4. Dla jakich wartości parametru kp r osta 2x-3y+k=0 j est ysmetryczna do oękgru x2+y2=13
5. Napisz orwnanie tsycznej do oękgru x( -1)² + (y + 2)² = 25 w jego punkcie A(4;2)
6. Dla jakich wartości parametru a proste: 2x+ay+1=0 i ax-y-3=0 są prostopadłe?
7. Oblicz pole koał okerślonego neirownością 2+xy2-2x+4y +1≤0
8. Dla jakich wartości parametrow a i b proste o rownaniach 3x+ay-4=0 i bx+(a+1)y +1=0
przecinają się w punkcie (2;-1)?
9. Dane są punkty A(-1;-2), B(4;1), C(1;3). Oblicz odległość punktu C od symetralnej
odcinka AB.
10. Rozwiąz nierowność:
a) │2x+4│+x <1
b) │x+2│≤x+4
c) 2-│1-2x│>1
d) │x+3│<│2x-3│
e) │x+1-ıxı│≤
f) x2 - 6x + 9
11. Dla jakich wartości parametru m układ rownań {( m - 1 ) x + 3y = 5; mx - 2y = 4} nie ma
rozwiązania. Podaj ilustrację geometryczną tego przypadku.
12. Napisz rownanie okręgu przechodzącego przez punkt A (7; 9) i stycznego do osi OX
w punkcie B (4; 0).
13. Punkty A(1; 1) B(4; 2) C(3; 5) są wierzchołkami rownoległoboku. Znajdź wspołrzędne
czwartego wierzchołka. Ile jest rozwiązań zadania?
14. Zaznacz na płaszczyźnie OXY zbior A= { (x : y): x2 + y2 ≤ 4 ı x2 – y2 =0}
15. Dany jest trojkąt o wierzchołkach A(1; -1) B(3; 3) C(-5; 1). Napisz równanie
symetrycznej boku BC.
16. Narysuj wykres funkcji
2
2
x
x
y = x + .
17. Na prostej x=1 wyznacz punkt A tak aby pole trojkąta o wierzchołkach A, B(2:0) i C(4:0)
było rowne 0,5.
18. Napisz rownanie wspolnej osi symetrii okręgow x2-2x+y2+4y+1=0 i x2+2x+y2-4y-4=0.
19. Wykaz, ze czworokąt o wierzchołkach A(-1; 1), B(-2; -1), C(4; 1) i D(2; 2) jest trapezem.
20. Dla jakich wartości parametru tıR układ rownań (x-1)2+(y+2)2=1 i (x-5)2+(y-2)2=t ma
więcej niŜ jedno rozwiązanie?
21. RozwiąŜ nierowność 1
1
1 >
- x
22. Narysuj wykres funkcji y=ıxı-1ı
23. Znajdź wspołrzędne punktu wspólnego prostej y=2x-1 z prostą prostopadłą przechodzącą
przez punkt A(1; 1).
24. Dla jakich wartości parametru m okrąg (x-m)2+(y-1)2=1 jest styczny do prostej
3x+4y+1=0?

matematyka

równania z dwoma niewiadomymi