Zadanie 1 (12 pkt.)
Punkty A(0, -5) i B(4, -2) sa kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Wierzchołek C nale&y
do prostej o równaniu x + y − 9 = 0 .
a) Znajdz współrzedne punktów C i D.
b) Oblicz sinus kata ostrego i pole rombu ABCD.
c) Napisz równanie okregu wpisanego w ten romb.
Zadanie 2 (1 pkt.)
Srodkiem okregu jest punkt S(-1, 2), a styczna do okregu ma równanie 3x + 4y + 5 = 0 .
Oblicz długosc promienia tego okregu.
Zadanie 3 (14 pkt.)
Dane sa odcinki o długosciach a = 2x +1, b = 3 − y , c = x + 2y . Opisz za pomoca układu
nierównosci zbiór tych wszystkich punktów (x, y ), dla których z odcinków o długosciach
a, b, i c mo&na zbudowac trójkat. Zaznacz ten zbiór w układzie współrzednych. Czy punkt
A(3, 1) spełnia ten warunek?
czwartek, 22 stycznia 2009
Geometria analityczna
Zadanie 1 (6 pkt.)
Sprawdz, czy prosta 4x + 3y + 3 = 0
a) jest prostopadła do prostej o równaniu 3x + 4y − 7 = 0 ;
b) jest styczna do okregu x2 − 2x + y2 − 2y − 2 = 0 .
Zadanie 2 (9 pkt.)
Dany jest trójkat o wierzchołkach A(2,1), B(5,2), C(1,4) .
a) sprawdz, czy trójkat ABC jest prostokatny;
b) wyznacz równanie okregu opisanego na trójkacie ABC .
Zadanie 3 (9 pkt.)
Dany jest trójkat ABC, w którym A(-3, 1),
AB = [5, 3], a srodek cie&kosci ma współrzedne
S(-1, -1).
a) Znajdz współrzedne pozostałych wierzchołków trójkata.
b) Wyznacz obraz punktu A w symetrii wzgledem prostej zawierajacej bok BC.
Sprawdz, czy prosta 4x + 3y + 3 = 0
a) jest prostopadła do prostej o równaniu 3x + 4y − 7 = 0 ;
b) jest styczna do okregu x2 − 2x + y2 − 2y − 2 = 0 .
Zadanie 2 (9 pkt.)
Dany jest trójkat o wierzchołkach A(2,1), B(5,2), C(1,4) .
a) sprawdz, czy trójkat ABC jest prostokatny;
b) wyznacz równanie okregu opisanego na trójkacie ABC .
Zadanie 3 (9 pkt.)
Dany jest trójkat ABC, w którym A(-3, 1),
AB = [5, 3], a srodek cie&kosci ma współrzedne
S(-1, -1).
a) Znajdz współrzedne pozostałych wierzchołków trójkata.
b) Wyznacz obraz punktu A w symetrii wzgledem prostej zawierajacej bok BC.
Geometria analityczna
Zadanie 1 (2 pkt.)
Poło&enie dwóch braci mo&na opisac w układzie współrzednych. W pewnej chwili Jacek
znajdował sie w punkcie A(−1,3) , a Tomek w punkcie B(1,−1) . Wyznacz równanie prostej,
na której znajdowali sie bracia i oblicz odległosc miedzy nimi.
Zadanie 2 (5 pkt.)
Prosta k jest nachylona do osi OX pod katem = 45o , przechodzi przez punkt P(3,1)
i przecina os OY w punkcie A. Prosta l jest prostopadła do prostej k, przecina ja w punkcie
P, zas os OY w punkcie B. Napisz równania prostych k i l, a nastepnie oblicz pole trójkata
ABP.
Zadanie 3 (7 pkt.)
Pani Kowalska w czasie wakacji robi przetwory z owoców. Kupiła na targu jabłka (w cenie
3 zł za kilogram) i wisnie (w cenie 4 zł za kilogram). Niech x oznacza liczbe kilogramów
jabłek, y – liczbe kilogramów wisni. Zapisz układ nierównosci opisujacy nastepujaca
sytuacje: Liczba kilogramów zakupionych przez pania Kowalska owoców nie przekracza
10 kg, a suma wydanych na nie pieniedzy nie mo&e byc wieksza od 36 zł. Zilustruj zbiór
rozwiazan tego układu na płaszczyznie.
Poło&enie dwóch braci mo&na opisac w układzie współrzednych. W pewnej chwili Jacek
znajdował sie w punkcie A(−1,3) , a Tomek w punkcie B(1,−1) . Wyznacz równanie prostej,
na której znajdowali sie bracia i oblicz odległosc miedzy nimi.
Zadanie 2 (5 pkt.)
Prosta k jest nachylona do osi OX pod katem = 45o , przechodzi przez punkt P(3,1)
i przecina os OY w punkcie A. Prosta l jest prostopadła do prostej k, przecina ja w punkcie
P, zas os OY w punkcie B. Napisz równania prostych k i l, a nastepnie oblicz pole trójkata
ABP.
Zadanie 3 (7 pkt.)
Pani Kowalska w czasie wakacji robi przetwory z owoców. Kupiła na targu jabłka (w cenie
3 zł za kilogram) i wisnie (w cenie 4 zł za kilogram). Niech x oznacza liczbe kilogramów
jabłek, y – liczbe kilogramów wisni. Zapisz układ nierównosci opisujacy nastepujaca
sytuacje: Liczba kilogramów zakupionych przez pania Kowalska owoców nie przekracza
10 kg, a suma wydanych na nie pieniedzy nie mo&e byc wieksza od 36 zł. Zilustruj zbiór
rozwiazan tego układu na płaszczyznie.
Matematyka Geometria analityczna
Zadanie 1 (4 pkt.)
Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym 2x + 3y − 6 = 0 .
a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej.
b) podaj współczynnik kierunkowy prostej k.
c) Znajdz punkty przeciecia prostej k z osiami układu współrzednych.
Zadanie 2 (4 pkt.)
Domy trzech kolegów znajduja sie w punktach, które mo&na zaznaczyc w układzie
współrzednych: dom Tomka w punkcie T(1,1), dom Jurka w punkcie J (− 2,3), zas dom
Piotrka w punkcie P(0,−2).
a) Oblicz odległosc miedzy domami Jurka i Tomka.
b) Które domy sa poło&one najdalej od siebie. Odpowiedz uzasadnij.
Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym 2x + 3y − 6 = 0 .
a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej.
b) podaj współczynnik kierunkowy prostej k.
c) Znajdz punkty przeciecia prostej k z osiami układu współrzednych.
Zadanie 2 (4 pkt.)
Domy trzech kolegów znajduja sie w punktach, które mo&na zaznaczyc w układzie
współrzednych: dom Tomka w punkcie T(1,1), dom Jurka w punkcie J (− 2,3), zas dom
Piotrka w punkcie P(0,−2).
a) Oblicz odległosc miedzy domami Jurka i Tomka.
b) Które domy sa poło&one najdalej od siebie. Odpowiedz uzasadnij.
czwartek, 13 listopada 2008
Matematyka
1. Wektory a i b są prostopadle oraz | a | = 2 i |b | = 3. Obliczyć długość wektora a –b .
2. Dany jest wektor a = [1;2].Znaleźć współrzędne wektora b prostopadłego do wektora
a , jeŜeli │b │=3 5 .
3. Dane są wektory w= [3; 7], u = [2; 3] i v = [−1; 1]. Wyznaczyć liczby a i b tak, by
wektor w+ au + b v był wektorem zerowym.
4. Obliczyć długość wektora 2 AC − 3 BC , jeŜeli A(2; 1), B(0; 2) i C(−1; 4).
5. Dane są punkty A(1; 2) i B(2; 4). Znaleźć punkt C spełniający warunek AC = 2 AB .
6. Niech P będzie środkiem cięŜkości trójkąta równobocznego ABC. Wyznaczyć wektory
AP i BP w zaleŜności od wektorów AB i AC .
7. Obliczyć miarę kąta między wektorami a i b , jeŜeli wiadomo, ze wektory
u = − a + 4 b i v =3 a + 2b są prostopadłe oraz │ a │= │b │= 1.
8. Dla jakich wartości wektory a = [1; 0] i b = [1; x] tworzą kąt 60°.
9. Obliczyć długości przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b ,
jeŜeli a = 2 m − n , b = 3m − n , m ^n , │m │= │ n │=1.
10. Obliczyć miarę kąta między wektorami a = [√3; 1] i b = [−√3; 1], a następnie długości
przekątnych równoległoboku wyznaczonych przez ten kąt.
11. Znaleźć współrzędne wektora x równoległego do wektora u =[2; 3], jeŜeli iloczyn
skalarny wektorów x i v = [−1; 1] jest równy 5.
12. Obliczyć │ a − b │, jeŜeli │ a + b │=5 i │a │=3 i │b │=2√2.
13. Dany jest romb ABCD o bokach długości 1 i kącie 60° przy wierzchołku A. Obliczyć
iloczyn skalarny wektorów AM i AN , jeŜeli M i N są odpowiednio środkami boków
BC i CD.
14. Wyznaczyć wartości x є (0; π) dla których wektory a = [√3; −1] i b = [−2sinx; 1] są
równolegle.
15. Wektory a i b tworzą ze sobą kąt α = 3
p , przy czym │a │=3 i │b │=5. Obliczyć
│a + b │ oraz │ a − b │.
16. Znaleźć długość rzutu dwusiecznej kata a trójkąta o wierzchołkach A(2; 0), B( 6; 6),
C(1; −4) na bok AB.
17. Dane są wektory a = [1;3] i b = [−2; 1]. Znaleźć wektor x prostopadły do wektora a
i atki, eŜ b ◦ x = 7.
18. Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku napiętego na wektorach a = 2i + j ,
b = i −2 j , gdzie i , j są wersorami osi układu XOY.
19. Dane są wierzchołki A( 6; −1), B(5; 1), C(1; 2), D(2; −4) czworokąta. Wykazać, Ŝe AC
i BD są prostopadle.
20. Wykazać, Ŝe trójkąt o wierzchołkach A(1; 0), B(1; 30, C(4; 3) jest równoramiennym
trójkątem prostokątnym.
21. Dane są trzy wierzchołki A(4; 2), B(3; 6), C(−1; 4) równoległoboku ABCD. Obliczyć
kąt między wektorami AK i AL. AL , gdzie K i L są środkami odcinków BC i CD.
2. Dany jest wektor a = [1;2].Znaleźć współrzędne wektora b prostopadłego do wektora
a , jeŜeli │b │=3 5 .
3. Dane są wektory w= [3; 7], u = [2; 3] i v = [−1; 1]. Wyznaczyć liczby a i b tak, by
wektor w+ au + b v był wektorem zerowym.
4. Obliczyć długość wektora 2 AC − 3 BC , jeŜeli A(2; 1), B(0; 2) i C(−1; 4).
5. Dane są punkty A(1; 2) i B(2; 4). Znaleźć punkt C spełniający warunek AC = 2 AB .
6. Niech P będzie środkiem cięŜkości trójkąta równobocznego ABC. Wyznaczyć wektory
AP i BP w zaleŜności od wektorów AB i AC .
7. Obliczyć miarę kąta między wektorami a i b , jeŜeli wiadomo, ze wektory
u = − a + 4 b i v =3 a + 2b są prostopadłe oraz │ a │= │b │= 1.
8. Dla jakich wartości wektory a = [1; 0] i b = [1; x] tworzą kąt 60°.
9. Obliczyć długości przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b ,
jeŜeli a = 2 m − n , b = 3m − n , m ^n , │m │= │ n │=1.
10. Obliczyć miarę kąta między wektorami a = [√3; 1] i b = [−√3; 1], a następnie długości
przekątnych równoległoboku wyznaczonych przez ten kąt.
11. Znaleźć współrzędne wektora x równoległego do wektora u =[2; 3], jeŜeli iloczyn
skalarny wektorów x i v = [−1; 1] jest równy 5.
12. Obliczyć │ a − b │, jeŜeli │ a + b │=5 i │a │=3 i │b │=2√2.
13. Dany jest romb ABCD o bokach długości 1 i kącie 60° przy wierzchołku A. Obliczyć
iloczyn skalarny wektorów AM i AN , jeŜeli M i N są odpowiednio środkami boków
BC i CD.
14. Wyznaczyć wartości x є (0; π) dla których wektory a = [√3; −1] i b = [−2sinx; 1] są
równolegle.
15. Wektory a i b tworzą ze sobą kąt α = 3
p , przy czym │a │=3 i │b │=5. Obliczyć
│a + b │ oraz │ a − b │.
16. Znaleźć długość rzutu dwusiecznej kata a trójkąta o wierzchołkach A(2; 0), B( 6; 6),
C(1; −4) na bok AB.
17. Dane są wektory a = [1;3] i b = [−2; 1]. Znaleźć wektor x prostopadły do wektora a
i atki, eŜ b ◦ x = 7.
18. Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku napiętego na wektorach a = 2i + j ,
b = i −2 j , gdzie i , j są wersorami osi układu XOY.
19. Dane są wierzchołki A( 6; −1), B(5; 1), C(1; 2), D(2; −4) czworokąta. Wykazać, Ŝe AC
i BD są prostopadle.
20. Wykazać, Ŝe trójkąt o wierzchołkach A(1; 0), B(1; 30, C(4; 3) jest równoramiennym
trójkątem prostokątnym.
21. Dane są trzy wierzchołki A(4; 2), B(3; 6), C(−1; 4) równoległoboku ABCD. Obliczyć
kąt między wektorami AK i AL. AL , gdzie K i L są środkami odcinków BC i CD.
Matematyka
1. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe przy sześciokrotnym rzucie moneta co
najmniej jeden raz wypadnie orzeł?
2. W urnie znajduje się pięć kul białych i sześć kul czarnych. Z urny tej losujemy jedną
kulę, a następnie z pozostałych losujemy drugą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo
wylosowania kuli czarnej za drugim razem?
3. Oblicz liczbę tych permutacji zbioru siedmioelementowego, w którym dwa
wyróŜnione elementy nie występują obok siebie.
4. Obliczyć, na ile sposobów moŜna podzielić zbiór pięcioelementowy na dwa niepuste
zbiory rozłączne.
5. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką sześcienną do gier .
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe za drugim razem wypadnie „szóstka” pod
warunkiem, Ŝe suma oczek będzie równa 9.
6. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe suma oczek z trzech rzutów kostką do gry wynosi
12, jeŜeli w drugim rzucie wypadły trzy oczka ?
7. Rzucamy trzy razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe w drugim rzucie
wypadła nieparzysta liczba oczek, jeŜeli iloczyn liczby oczek w trzech rzutach równy
jest 40?
8. W kaŜdej z trzech urn znajdują się 2 białe, 3 czarne i 4 niebieskie kule. Z kaŜdej urny
wylosowano po jednej kuli. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wśród wylosowanych
kul znajdują się 2 kule tego samego koloru?
9. JeŜeli w dwukrotnym rzucie monetą wypadną dwie reszki, to losowane są trzy kule
z urny zawierającej dwie białe i trzy czarne kule. W przeciwnym wypadku losowane
są dwie kule z urny zawierającej dwie białe i dwie czarne kule. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, Ŝe wśród wylosowanych kul będą dwie kule białe?
10. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe w pięciokrotnym rzucie monetą wypadnie
a)parzysta liczba reszek ; b)nieparzysta liczba reszek?
11. Z talii 52 kart wybrano losowo trzy karty. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia,
Ŝe wśród wybranych kart jest kier lub figura.
12. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej raz reszki w siedmiu rzutach
monetą?
13. Na loterię przygotowano trzydzieści losów, z których dziesięć wygrywa. Obliczyć
prawdopodobieństwo, Ŝe wśród kupionych dwóch losów jest jeden wygrywający.
14. Zdarzenia A i B są niezaleŜne oraz P(A) = p, P(B) = q. Obliczyć P(AÈB) i P(A\B).
15. Dziesięć osób posadzono w sposób losowy przy okrągłym stole. Obliczyć
prawdopodobieństwo, Ŝe dwie ustalone osoby X i Y nie siedzą obok siebie.
16. Ile róŜnych liczb czterocyfrowych moŜna zapisać za pomocą cyfr:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? Ile
wśród tych liczb jest liczb parzystych?
17. Dziesięć osób posadzono w sposób losowy na ławce. Obliczyć prawdopodobieństwo,
Ŝe dwie ustalone osoby X i Y siedzą obok siebie.
18. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe przy dwukrotnym rzucie kostką liczba
oczek w drugim rzucie jest większa niŜ w pierwszym rzucie.
19. W urnie znajduje się 7 kul białych i 9 kul czarnych. Losujemy jedną kulę, a następnie
z pozostałych losujemy drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe za drugim
razem wylosowano kulę czarną?
20. Z cyfr {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9} wybieramy kolejno bez zwracania trzy cyfry i układamy
z nich liczbę, rozpoczynając od cyfry setek. Oblicz prawdopodobieństwo ułoŜenia
liczby podzielnej przez 9.
21. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia wśród tegorocznych maturzystów dwu
osób urodzonych tego samego dnia tygodnia?
najmniej jeden raz wypadnie orzeł?
2. W urnie znajduje się pięć kul białych i sześć kul czarnych. Z urny tej losujemy jedną
kulę, a następnie z pozostałych losujemy drugą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo
wylosowania kuli czarnej za drugim razem?
3. Oblicz liczbę tych permutacji zbioru siedmioelementowego, w którym dwa
wyróŜnione elementy nie występują obok siebie.
4. Obliczyć, na ile sposobów moŜna podzielić zbiór pięcioelementowy na dwa niepuste
zbiory rozłączne.
5. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką sześcienną do gier .
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe za drugim razem wypadnie „szóstka” pod
warunkiem, Ŝe suma oczek będzie równa 9.
6. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe suma oczek z trzech rzutów kostką do gry wynosi
12, jeŜeli w drugim rzucie wypadły trzy oczka ?
7. Rzucamy trzy razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe w drugim rzucie
wypadła nieparzysta liczba oczek, jeŜeli iloczyn liczby oczek w trzech rzutach równy
jest 40?
8. W kaŜdej z trzech urn znajdują się 2 białe, 3 czarne i 4 niebieskie kule. Z kaŜdej urny
wylosowano po jednej kuli. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wśród wylosowanych
kul znajdują się 2 kule tego samego koloru?
9. JeŜeli w dwukrotnym rzucie monetą wypadną dwie reszki, to losowane są trzy kule
z urny zawierającej dwie białe i trzy czarne kule. W przeciwnym wypadku losowane
są dwie kule z urny zawierającej dwie białe i dwie czarne kule. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, Ŝe wśród wylosowanych kul będą dwie kule białe?
10. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe w pięciokrotnym rzucie monetą wypadnie
a)parzysta liczba reszek ; b)nieparzysta liczba reszek?
11. Z talii 52 kart wybrano losowo trzy karty. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia,
Ŝe wśród wybranych kart jest kier lub figura.
12. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej raz reszki w siedmiu rzutach
monetą?
13. Na loterię przygotowano trzydzieści losów, z których dziesięć wygrywa. Obliczyć
prawdopodobieństwo, Ŝe wśród kupionych dwóch losów jest jeden wygrywający.
14. Zdarzenia A i B są niezaleŜne oraz P(A) = p, P(B) = q. Obliczyć P(AÈB) i P(A\B).
15. Dziesięć osób posadzono w sposób losowy przy okrągłym stole. Obliczyć
prawdopodobieństwo, Ŝe dwie ustalone osoby X i Y nie siedzą obok siebie.
16. Ile róŜnych liczb czterocyfrowych moŜna zapisać za pomocą cyfr:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? Ile
wśród tych liczb jest liczb parzystych?
17. Dziesięć osób posadzono w sposób losowy na ławce. Obliczyć prawdopodobieństwo,
Ŝe dwie ustalone osoby X i Y siedzą obok siebie.
18. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe przy dwukrotnym rzucie kostką liczba
oczek w drugim rzucie jest większa niŜ w pierwszym rzucie.
19. W urnie znajduje się 7 kul białych i 9 kul czarnych. Losujemy jedną kulę, a następnie
z pozostałych losujemy drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe za drugim
razem wylosowano kulę czarną?
20. Z cyfr {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9} wybieramy kolejno bez zwracania trzy cyfry i układamy
z nich liczbę, rozpoczynając od cyfry setek. Oblicz prawdopodobieństwo ułoŜenia
liczby podzielnej przez 9.
21. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia wśród tegorocznych maturzystów dwu
osób urodzonych tego samego dnia tygodnia?
Matematyka
1. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} losujemy dwukrotnie po jednej liczbie bez
zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe druga z losowanych liczb jest większa
od pierwszej ?
2. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia B\A, jeŜeli P(AÈB) =0,9; P(A)= 0,4 oraz
P(B) = 0,7.
3. Zbiór {1,2,3,4,5,6,7,8} uporządkowano w sposób losowy. Obliczyć
prawdopodobieństwo wystąpienia w tym uporządkowaniu:
a) jedynki bezpośrednio przed trójką , b) jedynki przed trójką.
4. Czy wolałbyś (wolałabyś) kupić dwa losy w loterii zawierającej pięć losów, z których
dwa są wygrane, czy kupić dwa losy w loterii zawierającej dziesięć losów, z których
cztery są wygrane ? Odpowiedź uzasadnić.
5. Rzucono trzema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe na Ŝadnej kostce
nie wypadły cztery oczka lub na wszystkich kostkach wypadła taka sama liczba
oczek?
6. Rzucamy siedem razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństw, Ŝe orzeł wypadnie co
najwyŜej pięć razy?
7. Rzucamy trzy razy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo ,Ŝe co najmniej
raz suma oczek będzie większa od 9?
24. Ile moŜe być róŜnych numerów telefonicznych w czterocyfrowej centrali telefonicznej
jeŜeli:
a) wszystkie numery są moŜliwe,
b) pierwszą cyfrą numeru nie moŜe być 0?
8. W urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne. Losujemy dwie kule bez zwracania.
Oblicz dwiema metodami prawdopodobieństwa, Ŝe obie kule będą białe.
9. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, Ŝe:
a) wyrzucimy trzy razy reszkę,
b) wyrzucimy co najmniej raz reszkę.
10. Ile pięciocyfrowych ilczb neiparzystych moŜna uwt orzyć z cyfr: 4, 5, 8?
11. Ile parzystych ilczb czterocyfrowych moŜna uwt orzyć z cyfr: 1, 2, 3?
12. Obliczyć P(B), jeŜeli P(A) =3
1 , P(A\B ) = 6
1 , P(B\A) = 4
1 .
13. Rzucamy siedem razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe „orzeł” wypadnie
dokładnie pięć razy?
14. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia B, wiedząc, Ŝe P(A)=0,4 oraz P(A\B)=0,1
i P(B|A)=0,2.
15. Z talii liczącej 52 karty wyciągnięto jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe
jest to figura (as, król, dama, walet) lub karta czerwona?
16. Jaką minimalną ilość razy naleŜy rzucić kostką do gry, aby prawdopodobieństwo
wyrzucenia ci najmniej raz 5 lub 6 oczek było większe od 9
4 ?
17. W urnie znajduje się kula biała albo kula czarna (kaŜda z prawdopodobieństwem 2
1 ).
Do urny dokładamy kulę biała i dokonujemy losowania jednej kuli. Jakie jest
prawdopodobieństwo, Ŝe wyciągniemy kulę białą?
18. Odliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej trzy razy orła w czterech
rzutach symetryczna monetą.
19. W urnie A znajduje się sześć białych i cztery czarne kule, w urnie B zaś trzy białe
i trzy czarne kule. Przekładamy dwie kule z urny A do urny B , a następnie z urny B
wyciągamy losowo jedną kule. Jakie jest prawdopodobieństwo Ŝe wyciągnięta kula
jest biała?
20. Na lie sposobów moŜna wybrać rtzy osobowa delegację z grupy 20 oósb?
zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe druga z losowanych liczb jest większa
od pierwszej ?
2. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia B\A, jeŜeli P(AÈB) =0,9; P(A)= 0,4 oraz
P(B) = 0,7.
3. Zbiór {1,2,3,4,5,6,7,8} uporządkowano w sposób losowy. Obliczyć
prawdopodobieństwo wystąpienia w tym uporządkowaniu:
a) jedynki bezpośrednio przed trójką , b) jedynki przed trójką.
4. Czy wolałbyś (wolałabyś) kupić dwa losy w loterii zawierającej pięć losów, z których
dwa są wygrane, czy kupić dwa losy w loterii zawierającej dziesięć losów, z których
cztery są wygrane ? Odpowiedź uzasadnić.
5. Rzucono trzema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe na Ŝadnej kostce
nie wypadły cztery oczka lub na wszystkich kostkach wypadła taka sama liczba
oczek?
6. Rzucamy siedem razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństw, Ŝe orzeł wypadnie co
najwyŜej pięć razy?
7. Rzucamy trzy razy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo ,Ŝe co najmniej
raz suma oczek będzie większa od 9?
24. Ile moŜe być róŜnych numerów telefonicznych w czterocyfrowej centrali telefonicznej
jeŜeli:
a) wszystkie numery są moŜliwe,
b) pierwszą cyfrą numeru nie moŜe być 0?
8. W urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne. Losujemy dwie kule bez zwracania.
Oblicz dwiema metodami prawdopodobieństwa, Ŝe obie kule będą białe.
9. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, Ŝe:
a) wyrzucimy trzy razy reszkę,
b) wyrzucimy co najmniej raz reszkę.
10. Ile pięciocyfrowych ilczb neiparzystych moŜna uwt orzyć z cyfr: 4, 5, 8?
11. Ile parzystych ilczb czterocyfrowych moŜna uwt orzyć z cyfr: 1, 2, 3?
12. Obliczyć P(B), jeŜeli P(A) =3
1 , P(A\B ) = 6
1 , P(B\A) = 4
1 .
13. Rzucamy siedem razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe „orzeł” wypadnie
dokładnie pięć razy?
14. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia B, wiedząc, Ŝe P(A)=0,4 oraz P(A\B)=0,1
i P(B|A)=0,2.
15. Z talii liczącej 52 karty wyciągnięto jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe
jest to figura (as, król, dama, walet) lub karta czerwona?
16. Jaką minimalną ilość razy naleŜy rzucić kostką do gry, aby prawdopodobieństwo
wyrzucenia ci najmniej raz 5 lub 6 oczek było większe od 9
4 ?
17. W urnie znajduje się kula biała albo kula czarna (kaŜda z prawdopodobieństwem 2
1 ).
Do urny dokładamy kulę biała i dokonujemy losowania jednej kuli. Jakie jest
prawdopodobieństwo, Ŝe wyciągniemy kulę białą?
18. Odliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej trzy razy orła w czterech
rzutach symetryczna monetą.
19. W urnie A znajduje się sześć białych i cztery czarne kule, w urnie B zaś trzy białe
i trzy czarne kule. Przekładamy dwie kule z urny A do urny B , a następnie z urny B
wyciągamy losowo jedną kule. Jakie jest prawdopodobieństwo Ŝe wyciągnięta kula
jest biała?
20. Na lie sposobów moŜna wybrać rtzy osobowa delegację z grupy 20 oósb?
Subskrybuj:
Posty (Atom)