Matematyka

1. Wektory a i b są prostopadle oraz | a | = 2 i |b | = 3. Obliczyć długość wektora a –b .
2. Dany jest wektor a = [1;2].Znaleźć współrzędne wektora b prostopadłego do wektora
a , jeŜeli │b │=3 5 .
3. Dane są wektory w= [3; 7], u = [2; 3] i v = [−1; 1]. Wyznaczyć liczby a i b tak, by
wektor w+ au + b v był wektorem zerowym.
4. Obliczyć długość wektora 2 AC − 3 BC , jeŜeli A(2; 1), B(0; 2) i C(−1; 4).
5. Dane są punkty A(1; 2) i B(2; 4). Znaleźć punkt C spełniający warunek AC = 2 AB .
6. Niech P będzie środkiem cięŜkości trójkąta równobocznego ABC. Wyznaczyć wektory
AP i BP w zaleŜności od wektorów AB i AC .
7. Obliczyć miarę kąta między wektorami a i b , jeŜeli wiadomo, ze wektory
u = − a + 4 b i v =3 a + 2b są prostopadłe oraz │ a │= │b │= 1.
8. Dla jakich wartości wektory a = [1; 0] i b = [1; x] tworzą kąt 60°.
9. Obliczyć długości przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b ,
jeŜeli a = 2 m − n , b = 3m − n , m ^n , │m │= │ n │=1.
10. Obliczyć miarę kąta między wektorami a = [√3; 1] i b = [−√3; 1], a następnie długości
przekątnych równoległoboku wyznaczonych przez ten kąt.
11. Znaleźć współrzędne wektora x równoległego do wektora u =[2; 3], jeŜeli iloczyn
skalarny wektorów x i v = [−1; 1] jest równy 5.
12. Obliczyć │ a − b │, jeŜeli │ a + b │=5 i │a │=3 i │b │=2√2.
13. Dany jest romb ABCD o bokach długości 1 i kącie 60° przy wierzchołku A. Obliczyć
iloczyn skalarny wektorów AM i AN , jeŜeli M i N są odpowiednio środkami boków
BC i CD.
14. Wyznaczyć wartości x є (0; π) dla których wektory a = [√3; −1] i b = [−2sinx; 1] są
równolegle.
15. Wektory a i b tworzą ze sobą kąt α = 3
p , przy czym │a │=3 i │b │=5. Obliczyć
│a + b │ oraz │ a − b │.
16. Znaleźć długość rzutu dwusiecznej kata a trójkąta o wierzchołkach A(2; 0), B( 6; 6),
C(1; −4) na bok AB.
17. Dane są wektory a = [1;3] i b = [−2; 1]. Znaleźć wektor x prostopadły do wektora a
i atki, eŜ b ◦ x = 7.
18. Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku napiętego na wektorach a = 2i + j ,
b = i −2 j , gdzie i , j są wersorami osi układu XOY.
19. Dane są wierzchołki A( 6; −1), B(5; 1), C(1; 2), D(2; −4) czworokąta. Wykazać, Ŝe AC
i BD są prostopadle.
20. Wykazać, Ŝe trójkąt o wierzchołkach A(1; 0), B(1; 30, C(4; 3) jest równoramiennym
trójkątem prostokątnym.
21. Dane są trzy wierzchołki A(4; 2), B(3; 6), C(−1; 4) równoległoboku ABCD. Obliczyć
kąt między wektorami AK i AL. AL , gdzie K i L są środkami odcinków BC i CD.