Matematyka

1. Wektory a i b są prostopadle oraz | a | = 2 i |b | = 3. Obliczyć długość wektora a –b .
2. Dany jest wektor a = [1;2].Znaleźć współrzędne wektora b prostopadłego do wektora
a , jeŜeli │b │=3 5 .
3. Dane są wektory w= [3; 7], u = [2; 3] i v = [−1; 1]. Wyznaczyć liczby a i b tak, by
wektor w+ au + b v był wektorem zerowym.
4. Obliczyć długość wektora 2 AC − 3 BC , jeŜeli A(2; 1), B(0; 2) i C(−1; 4).
5. Dane są punkty A(1; 2) i B(2; 4). Znaleźć punkt C spełniający warunek AC = 2 AB .
6. Niech P będzie środkiem cięŜkości trójkąta równobocznego ABC. Wyznaczyć wektory
AP i BP w zaleŜności od wektorów AB i AC .
7. Obliczyć miarę kąta między wektorami a i b , jeŜeli wiadomo, ze wektory
u = − a + 4 b i v =3 a + 2b są prostopadłe oraz │ a │= │b │= 1.
8. Dla jakich wartości wektory a = [1; 0] i b = [1; x] tworzą kąt 60°.
9. Obliczyć długości przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b ,
jeŜeli a = 2 m − n , b = 3m − n , m ^n , │m │= │ n │=1.
10. Obliczyć miarę kąta między wektorami a = [√3; 1] i b = [−√3; 1], a następnie długości
przekątnych równoległoboku wyznaczonych przez ten kąt.
11. Znaleźć współrzędne wektora x równoległego do wektora u =[2; 3], jeŜeli iloczyn
skalarny wektorów x i v = [−1; 1] jest równy 5.
12. Obliczyć │ a − b │, jeŜeli │ a + b │=5 i │a │=3 i │b │=2√2.
13. Dany jest romb ABCD o bokach długości 1 i kącie 60° przy wierzchołku A. Obliczyć
iloczyn skalarny wektorów AM i AN , jeŜeli M i N są odpowiednio środkami boków
BC i CD.
14. Wyznaczyć wartości x є (0; π) dla których wektory a = [√3; −1] i b = [−2sinx; 1] są
równolegle.
15. Wektory a i b tworzą ze sobą kąt α = 3
p , przy czym │a │=3 i │b │=5. Obliczyć
│a + b │ oraz │ a − b │.
16. Znaleźć długość rzutu dwusiecznej kata a trójkąta o wierzchołkach A(2; 0), B( 6; 6),
C(1; −4) na bok AB.
17. Dane są wektory a = [1;3] i b = [−2; 1]. Znaleźć wektor x prostopadły do wektora a
i atki, eŜ b ◦ x = 7.
18. Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku napiętego na wektorach a = 2i + j ,
b = i −2 j , gdzie i , j są wersorami osi układu XOY.
19. Dane są wierzchołki A( 6; −1), B(5; 1), C(1; 2), D(2; −4) czworokąta. Wykazać, Ŝe AC
i BD są prostopadle.
20. Wykazać, Ŝe trójkąt o wierzchołkach A(1; 0), B(1; 30, C(4; 3) jest równoramiennym
trójkątem prostokątnym.
21. Dane są trzy wierzchołki A(4; 2), B(3; 6), C(−1; 4) równoległoboku ABCD. Obliczyć
kąt między wektorami AK i AL. AL , gdzie K i L są środkami odcinków BC i CD.

Matematyka

1. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe przy sześciokrotnym rzucie moneta co
najmniej jeden raz wypadnie orzeł?
2. W urnie znajduje się pięć kul białych i sześć kul czarnych. Z urny tej losujemy jedną
kulę, a następnie z pozostałych losujemy drugą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo
wylosowania kuli czarnej za drugim razem?
3. Oblicz liczbę tych permutacji zbioru siedmioelementowego, w którym dwa
wyróŜnione elementy nie występują obok siebie.
4. Obliczyć, na ile sposobów moŜna podzielić zbiór pięcioelementowy na dwa niepuste
zbiory rozłączne.
5. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką sześcienną do gier .
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe za drugim razem wypadnie „szóstka” pod
warunkiem, Ŝe suma oczek będzie równa 9.
6. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe suma oczek z trzech rzutów kostką do gry wynosi
12, jeŜeli w drugim rzucie wypadły trzy oczka ?
7. Rzucamy trzy razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe w drugim rzucie
wypadła nieparzysta liczba oczek, jeŜeli iloczyn liczby oczek w trzech rzutach równy
jest 40?
8. W kaŜdej z trzech urn znajdują się 2 białe, 3 czarne i 4 niebieskie kule. Z kaŜdej urny
wylosowano po jednej kuli. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wśród wylosowanych
kul znajdują się 2 kule tego samego koloru?
9. JeŜeli w dwukrotnym rzucie monetą wypadną dwie reszki, to losowane są trzy kule
z urny zawierającej dwie białe i trzy czarne kule. W przeciwnym wypadku losowane
są dwie kule z urny zawierającej dwie białe i dwie czarne kule. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, Ŝe wśród wylosowanych kul będą dwie kule białe?
10. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe w pięciokrotnym rzucie monetą wypadnie
a)parzysta liczba reszek ; b)nieparzysta liczba reszek?
11. Z talii 52 kart wybrano losowo trzy karty. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia,
Ŝe wśród wybranych kart jest kier lub figura.
12. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej raz reszki w siedmiu rzutach
monetą?
13. Na loterię przygotowano trzydzieści losów, z których dziesięć wygrywa. Obliczyć
prawdopodobieństwo, Ŝe wśród kupionych dwóch losów jest jeden wygrywający.
14. Zdarzenia A i B są niezaleŜne oraz P(A) = p, P(B) = q. Obliczyć P(AÈB) i P(A\B).
15. Dziesięć osób posadzono w sposób losowy przy okrągłym stole. Obliczyć
prawdopodobieństwo, Ŝe dwie ustalone osoby X i Y nie siedzą obok siebie.
16. Ile róŜnych liczb czterocyfrowych moŜna zapisać za pomocą cyfr:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? Ile
wśród tych liczb jest liczb parzystych?
17. Dziesięć osób posadzono w sposób losowy na ławce. Obliczyć prawdopodobieństwo,
Ŝe dwie ustalone osoby X i Y siedzą obok siebie.
18. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe przy dwukrotnym rzucie kostką liczba
oczek w drugim rzucie jest większa niŜ w pierwszym rzucie.
19. W urnie znajduje się 7 kul białych i 9 kul czarnych. Losujemy jedną kulę, a następnie
z pozostałych losujemy drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, Ŝe za drugim
razem wylosowano kulę czarną?
20. Z cyfr {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9} wybieramy kolejno bez zwracania trzy cyfry i układamy
z nich liczbę, rozpoczynając od cyfry setek. Oblicz prawdopodobieństwo ułoŜenia
liczby podzielnej przez 9.
21. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia wśród tegorocznych maturzystów dwu
osób urodzonych tego samego dnia tygodnia?

Matematyka

1. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} losujemy dwukrotnie po jednej liczbie bez
zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe druga z losowanych liczb jest większa
od pierwszej ?
2. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia B\A, jeŜeli P(AÈB) =0,9; P(A)= 0,4 oraz
P(B) = 0,7.
3. Zbiór {1,2,3,4,5,6,7,8} uporządkowano w sposób losowy. Obliczyć
prawdopodobieństwo wystąpienia w tym uporządkowaniu:
a) jedynki bezpośrednio przed trójką , b) jedynki przed trójką.
4. Czy wolałbyś (wolałabyś) kupić dwa losy w loterii zawierającej pięć losów, z których
dwa są wygrane, czy kupić dwa losy w loterii zawierającej dziesięć losów, z których
cztery są wygrane ? Odpowiedź uzasadnić.
5. Rzucono trzema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe na Ŝadnej kostce
nie wypadły cztery oczka lub na wszystkich kostkach wypadła taka sama liczba
oczek?
6. Rzucamy siedem razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństw, Ŝe orzeł wypadnie co
najwyŜej pięć razy?
7. Rzucamy trzy razy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo ,Ŝe co najmniej
raz suma oczek będzie większa od 9?
24. Ile moŜe być róŜnych numerów telefonicznych w czterocyfrowej centrali telefonicznej
jeŜeli:
a) wszystkie numery są moŜliwe,
b) pierwszą cyfrą numeru nie moŜe być 0?
8. W urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne. Losujemy dwie kule bez zwracania.
Oblicz dwiema metodami prawdopodobieństwa, Ŝe obie kule będą białe.
9. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, Ŝe:
a) wyrzucimy trzy razy reszkę,
b) wyrzucimy co najmniej raz reszkę.
10. Ile pięciocyfrowych ilczb neiparzystych moŜna uwt orzyć z cyfr: 4, 5, 8?
11. Ile parzystych ilczb czterocyfrowych moŜna uwt orzyć z cyfr: 1, 2, 3?
12. Obliczyć P(B), jeŜeli P(A) =3
1 , P(A\B ) = 6
1 , P(B\A) = 4
1 .
13. Rzucamy siedem razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe „orzeł” wypadnie
dokładnie pięć razy?
14. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia B, wiedząc, Ŝe P(A)=0,4 oraz P(A\B)=0,1
i P(B|A)=0,2.
15. Z talii liczącej 52 karty wyciągnięto jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe
jest to figura (as, król, dama, walet) lub karta czerwona?
16. Jaką minimalną ilość razy naleŜy rzucić kostką do gry, aby prawdopodobieństwo
wyrzucenia ci najmniej raz 5 lub 6 oczek było większe od 9
4 ?
17. W urnie znajduje się kula biała albo kula czarna (kaŜda z prawdopodobieństwem 2
1 ).
Do urny dokładamy kulę biała i dokonujemy losowania jednej kuli. Jakie jest
prawdopodobieństwo, Ŝe wyciągniemy kulę białą?
18. Odliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej trzy razy orła w czterech
rzutach symetryczna monetą.
19. W urnie A znajduje się sześć białych i cztery czarne kule, w urnie B zaś trzy białe
i trzy czarne kule. Przekładamy dwie kule z urny A do urny B , a następnie z urny B
wyciągamy losowo jedną kule. Jakie jest prawdopodobieństwo Ŝe wyciągnięta kula
jest biała?
20. Na lie sposobów moŜna wybrać rtzy osobowa delegację z grupy 20 oósb?

Matematyka

1. Ile róŜnych liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5 moŜna zapisać za pomocą cyfr :
1,2,3,4,5?
2. Na ile sposobów moŜna ustawić na półce sześć ksiąŜek tak , aby dwie wybrane ksiąŜki
stały obok siebie ?
3. Do pudełka z dziesięcioma nowymi długopisami wrzucono cztery długopisy zuŜyte.
Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wśród trzech losowo wybranych długopisów będą
przynajmniej dwa nowe?
4. Ile róŜnych liczb trzycyfrowych moŜna utworzyć z cyfr 0, 1, 3, 4, i 5 jeŜeli załoŜymy
Ŝe cyfry w liczbie nie mogą się powtarzać?
5. W urnie jest 20 jednakowych kul ponumerowanych od 1 do 20 . Jakie jest
prawdopodobieństwo wylosowania kuli, której numer jest kwadratem liczby
naturalnej?
6. Pewna gra polega na rzucie kostką i monetą. Wygrana następuje przy jednoczesnym
otrzymaniu czterech oczek i orła. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, Ŝe w trzech
grach wygrana nastąpi dokładnie dwa razy?
7. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe na siedem rzutów kostką co najwyŜej dwa razy
wypadnie liczba oczek większa od 4.
8. Urna U1 zawiera sześć kul czarnych i dziewięć białych, natomiast urna U2 zawiera
pięć kul czarnych i piętnaście białych . Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo
tego, Ŝe losujemy kulę z urny U1 jest równe 3
2 , prawdopodobieństwo tego, Ŝe
losujemy kulę z U2 jest równe 3
1 . Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli
białej.
9. Rzucamy cztery razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe co najmniej
dwa razy wypadnie liczba oczek większa od czterech?
10. W pewnym sklepie 45% sprzedawanych Ŝarówek pochodzi z zakładu Z1, a 55%
z zakładu Z2. Braki w produkcji Ŝarówek zakładów Z1 i Z2 stanowią odpowiednią
0,8% oraz 1,2% ich produkcji . Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe klient kupujący
jedną Ŝarówkę, kupi złą ?
11. W grupie studenckiej liczącej 6 chłopców i 4 dziewczęta rozlosowano 5 biletów do
teatru. Obliczyć prawdopodobieństwo, Ŝe co najmniej 2 bilety wylosowały
dziewczęta.
12. Ze zbioru {1,2,3,...,20} losujemy jedną liczbę. Czy zdarzenia :A – wylosujemy liczbę
podzielną przez 4 oraz B – wylosujemy liczbą podzielna przez 6, są niezaleŜne ?
13. Dwukrotnie rzucono kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo tego , Ŝe za
drugim razem wyrzucono szóstkę, jeśli wiadomo, Ŝe suma ilości wyrzuconych oczek
była równa 10.
14. Ile parzystych liczb pięciocyfrowych moŜna zapisać uŜywając wyłącznie cyfr
1, 2, i 8?
15. Na egzaminie, w sposób losowy posadzono w jednym rzędzie dziesięciu zdających,
w tym dwóch z jednej szkoły. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe nie siedzą oni obok
siebie?
16. Rzucamy dwiema kostkami. Co jest bardziej prawdopodobne : wyrzucenie parzystej
liczby oczek na kaŜdej z kostek czy wyrzucenie co najmniej jednej szóstki ?